Derivata grafica, usiamo Derive

RETTA TANGENTE AD UNA CURVA

USIAMO DERIVE

È noto che la derivata prima di una funzione calcolata in un punto x_o rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto di ascissa x_o.

Se A(x_o,y_o) è il punto appartenente alla curva y=f(x), allora l’equazione della retta tangente nel punto A è:

                                   y - y_o = m(x- x_o)                      con m = f’(x_o)

Esempio:

                        Sia y = x³         quindi y’ = 3x²

Sia A il punto di ascissa 2; calcoliamo il valore della funzione e della sua derivata nel punto 2

y(2) = 8           y’(2) = 12

Allora l’equazione della retta tangente per A(2,8) sarà:

                                   y - y_o = m(x- x_o)

                                   y – 8 = 12(x – 2)

che risolta dà:               y = 12x – 16

Come è possibile risolvere il problema con Derive?

Con Derive rappresentiamo graficamente la funzione (curva viola) e la sua derivata (curva rossa).

Poi tracciamo la retta x = 2 (dove 2 è l’ascissa di A). Tale retta interseca la funzione nel punto A di ordinata 8 e la sua derivata nel punto B di ordinata 12. Quest’ultimo valore rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto A.

Letti i valori di y_o e di m, scriviamo l’equazione della retta passante per A di ascissa 2 (vedi sopra).

Ovviamente il discorso vale per qualsiasi  punto x_o.

Se scegliamo x_o  = 1 avremo dal grafico  y_o = 1 e m = 3. E così per altri punti.

Il metodo, alquanto semplice, consente di risolvere situazioni più complicate dove è difficoltoso calcolare il valore della derivata. Con Derive rappresentiamo la funzione e la sua derivata e, per ogni valore di x_o, è possibile leggere il valore di y_o e di m. Ovviamente i risultati saranno approssimati a seconda della scala di rappresentazione usata.
2) Consideriamo la funzione    y =        (curva blu)  e la sua derivata:          y' = (curva rossa)

Dal grafico, per ogni valore di x è possibile determinare il valore della funzione  e del coefficiente angolare della retta tangente nel punto x considerato.

Nell’esempio abbiamo considerato:

x = 0,5   da cui si ha:    y = 0,2  e  m = 0,64

x = -1,0 da cui si ha:    y = 0,5  e  m = -0,5

Esercizio: Determinare con Derive l’equazione della retta tangente alla curva  y = sen(ln|x|) nel punto di ascissa 3.

Prof. Emilio Polverino - Docente Liceo Scientifico - “G. Da Procida” - Salerno